あみだくじの確率は実は平等ではないって本当?

あみだくじ

あみだくじを引く時、当たりを引く確率を意識したことはありますか?
どれを選んでも一緒だと思っている方も多いのではないでしょうか?

何人かで同時に選ぶ場合でも、どれを選んでも確率は一緒だと思っていませんか?
本当にあみだくじは平等なくじなのでしょうか?

あみだくじの 当たりの確率

まずはあみだくじについて基本的な説明を簡単にしておきたいと思います。

ほとんどの方がご存知だとは思いますが、あみだくじとは縦線を人数分引いて横線で繋ぎ、縦線の下に当たりやハズレなどを書いておいて順番に選んでいくものです。

実は、厳密に言うと横線が入っていなくても「あみだくじ」と呼びます。

ちなみに横線がどんな形で何本あっても、別々に選択したものが重複することは絶対にありません。これは、数学的帰納法で証明されています。
仮に重複したとしたら、あみだくじの存在意義はなくなりますからね。

では、あみだくじで当たりを引く確率はいったいどれくらいなのでしょうか?

まず、当たりを引く確率を出すことはできません。
それは横線の数で変わるからです。

極論を言うと、縦線だけで答えを隠していれば当たりの確率は

{当たり数÷縦線の数}

になります。

あみだくじ例-縦線だけ

ところが横線を入れることで当たりの確率は大きく変わります。

数学的にいうと確率が変わるとかそういうことではないのですが、数学的な話をしても分かりにくいと思うので、数学的観点からお話をするのはやめておきます。

横線の数で確率が大きく変わる

横線の数で変わるとはどういうことか。説明したいと思います。

例えば縦線3本で当たりがひとつの場合で考えます。
横線がゼロだと当たりを引く確率はだと単純に3分の1になります。

あみだくじ例-縦線3本

ではこれに横線を2本加えたらどうなるでしょうか?
3分の1だと思いがちですが違います。横線がどこに入るかで変わるからです。

あみだくじ例-横線2本2パターン

このように同じ横線の数ですが位置が異なると、確率が変わるということです。
・・・と言いたいところですが、やはり数学はそんなに簡単ではありません。
それは期待値という考え方があるからです。

右のあみだくじでは、一番右は当たりを引く確率は0。期待値も0ですね。
残りの2つ(左と真ん中)を考えると確率も期待値も2分の1になります。
もちろん今回当たりを引くのは左ですが、期待値の観点での話になるので、今回は2分の1の期待値となります。

少し難しいかもしれませんが、一番右を引いた時点で当たりを引く確率は0なのですから、確率が3分の1とはなりません。

つまり「期待値」と「確率」の掛け合わせによって当たりの出る率が変わってくる。ということがなんとなくお分かりいただけたでしょうか。

横線が多いほど公正なあみだくじになる?

横線を入れる位置によって当たりの出る確率にバラツキが生じることがなんとなくお分かりいただけたかと思います。

では、ここからは縦線の数も横線の数もある程度多い時の話をしていきます。
50本縦線があるとします。横線がランダムに100本あるとします。

あみだくじ例-縦線50本

一番左に当たりがあるとします。この場合当たりを引く確率は50分の1でしょうか?

一番左に当たりが見えた状態で、選ぶ際一番右を選ぼうとは思いませんよね。
なぜか?横線が少なすぎるからです。

横線が少なければ少ないほど、一番左が当たりの場合、右にいけばいくほど当たりを引く可能性は低くなります。

ただし、横線が数え切れないくらいびっしりあれば、一番右を選んでももしかしたら一番左の当たりを引く可能性があるのでは。と思いますよね。

あみだくじで当たりを引く確率(期待値)は横線の数で決まるというのは、そういう意味なのです。
要するに、あみだくじの正しい期待値を求めるにはかなりの横線がいるということになります。

あみだくじで当たりを引く期待値を計算式で計算することは可能ですが、ここでは省略します。よほどの数学好きでもないかぎり理解することはできないと思います。

ちなみに5本のくじ(縦線)の場合、確率を均等に近づけるには横線が100本ほどいる計算になります。

5本のくじでも、横線を1本入れないと5本のうちどれを選んでも、当たりを引く確率は等しくならないということです。
実際に、このようなあみだくじを作ると、縦線がかなり長いか、横線が真っ黒になるくらいびっしり入ることになります。

あみだくじで当たりを引く確率は平等ではない。公正ではない。
というのはこういうことから言えるのです。

これはアンケート調査の際のサンプル数と精度の関係に似ているかもしれません。
アンケート調査はサンプル数が多ければ多いほど精度が上がります。
このサンプル数をあみだくじの横線だと考えて頂ければ分かりやすいかと思います。

10人に実施したアンケート調査の結果を誰も信じませんよね。
あみだくじの横線も多くなれば多くなるほど、どの縦線を選んでも当たりを引く確率、期待値が均等に近づいていくということになります。

もちろん、細かい数値の求め方、数学的、論理的な考え方とは、今回の説明は逸脱していると思いますが、簡単に分かりやすい説明と思ってのことですので、その点はご理解ください。

まとめ

あみだくじの当たりの出る確率について色々述べてきました。

 
  • あみだくじは実は公正なくじではない
  • 答えが隠れた状態で一番公正なのは縦線だけのあみだくじ
  • あたりの出る確率は「期待値」によって大きくバラツキが出る
  • 横線が少ないと公正なあみだくじとは言えなくなる
  • 横線が多いほど公正なあみだくじに近付く(縦5本に対して横100本!)
 

ここでは主に数学的な観点からあみだくじの不公正さについて述べてきましたが、実はもう1つ、「心理面」での不公正さ、という側面もあります。

そちらについてはもう1つの記事で述べています。

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